小乐数学科普：苦觅已久的数学解说解开了更多深邃的“模体式”——Quanta Magazine

发布日期：2024-06-28 23:35 点击次数：178

新解说诀别深邃而坚忍的“模体式”

使用“令东说念主盖头换面的陈腐”器用，数学家们经管了50年前对于奈何对模体式（一类遑急函数）进行分类的猜念念，这对数论和表面物理产生了影响。

图片

这个模体式的图形使用了颜料和高度态状了其复数值。

在一个新的解说中，一个持久被忽视的数学对象终于成为东说念主们防备的焦点。

乍一看，模体式——几个世纪以来，其丰富的对称性眩惑了数学家的函数——似乎依然引起了实足的防备。它们出咫尺多样种种的问题中：它们是安德鲁·怀尔斯（Andrew Wiles）1994年解说费马大定理的要道身分，该定理会决了数论中最大的悬而未决的问题之一。它们在朗兰兹摘要中发达着中枢作用，这是一个不停发展“大协调数学表面”的抓续奋发。它们致使被用来盘考弦表面和量子物理学中的模子。

然则在这些高下文中出现的模体式属于特殊类型。所谓的congruence“同余”模体式领有荒芜的结构，使它们更容易盘考。然则更一般的“非同余”模体式远远超越它们的友好的同余模体式。“若是你马上取一个模体式，那它是同余模体式的概率为1，”加拿大麦克马斯特大学的数学家Cameron Franc说。“除非你有充分的根由遭受同余模体式，不然你不要指望。它们很是冷漠。

关联词，数学家对非同余模体式知之甚少，尽管它们无处不在。“它们实足是深邃的，”剑桥大学数学家安东尼·肖尔（Anthony Scholl）说。不仅对这样一个一般的函数类作念出包罗万象的论说很难，况且为盘考在非同余情况下分解模体式而树立的器用也很难。这让数学家们不细目他们应该试图解说什么。

关联词，对于非同余模体式的一个主要猜念念持久以来一直很隆起：就像沙漠中一个孤单的、不纷乱的路标。

1968年，数学家Oliver Atkin和Peter Swinnerton-Dyer（BSD猜念念建议者之一，zzllrr小乐译注）良好到非同余模体式似乎有一个终点昭彰的性质，将它们与同余模体式诀别开来。应该有这样一种公然的花式诀别两者“真的很是令东说念主惊诧，”加州大学圣克鲁斯分校的数学家Geoffrey Mason说。同余和非同余模体式很是不同，因为非同余模体式缺少同余模体式所具有的对称性。但这些各别固然遑急，但可能很神秘，难以察觉。

倏得之间，这些各别的昭彰笔据可想而知。

Atkin和Swinnerton-Dyer的不雅察自后被称为“无界分母”（unbounded denominators）猜念念。若是这是真的，它将允许数学家在大部分未树立的非同余对象限制站稳脚跟。通过提供一种毛糙的要领来识别给定的模体式属于哪个类，该猜念念还不错将表面物理学中的一个主要神志 - 旨在理会称为共形场论的粒子相互作用模子 - 置于更坚实的数学基础上。

但50多年来，莫得东说念主能解说这少量。最终，在 2021 年底，三位数学家顺利了。他们的解说似乎臆造而来，摄取了莫得东说念主盼望在这个盘考限制看到的时间。数学家和物理学家咫尺运转探索这项使命的成果。

对称性和结构

非同余模体式并不老是被左迁到角落。

在19世纪，数学家刚刚运转发展模体式的表面。这是给一种特殊类型的高度对称函数的称呼 - 它存在于复平面的上半平面中。

复平面是一种绘图复数的要领，复数分为两部分：实数和虚数。模体式输入值是虚部为正数（对应于平面的上半部分）的复数。（上半平面不错很容易地映射到单元圆盘的里面；模体式每每使用此映射进行态状。）

图片

同余模体式（左）具有非同余模体式（右）所缺少的附加结构。

模体式的好多对称性是根据 2×2 矩阵（四个数字的方形数组）的特殊集中或“群”界说的。在模体式中，这四个数字持久是整数。至关遑急的是，与细目其某些属性的矩阵关系的数字（称为行列式determinant）必须为 1。

有无穷多的这样的矩阵集。在某些群中，矩阵不错用相对毛糙的轨则来态状。举例，在整个矩阵中，右上角和左下角的元素可能是偶数，而其他两个元素是奇数。或者，右上角和左下角的元素不错被 11 整除，而其他两个元素齐比11的倍数多 1。

不错用这些关系界说的群——以及与这些群关系的模体式——是被粗野盘考的同余群。

但它们就像大海捞针：大多数 2×2 矩阵的集中不不错这种花式用很好的轨则来表征，这使得它们偏执关系的模体式不一致。

直到 1930 年代后期——大要在第二次寰宇大战运转时——同余模体式的盘考才运转超越非同余模体式的盘考。就在其时，德国数学家埃里希·赫克（Erich Hecke）树立了一个器用箱，使他大略细目模体式的好多属性，并将它们与其他遑急的数学对象关系联。

Hecke的要领只适用于同余群偏执模体式。非同余群缺少使Hecke器用箱有用的荒芜结构。“当你迁徙到非同余寰宇中时，你在同余寰宇中领有的这个东西就会磨灭，”Franc说。

因此，非同余模体式似乎注定要长期被忽视。这并不是说它们莫得任何我方的特殊结构，销毁在名义之下。正如Swinnerton-Dyer的配合者Bryan Birch（BSD猜念念另一共同建议者，zzllrr小乐译注）也曾写说念的那样，“固然结构更深邃，但似乎真实相通丰富。”然则当触及到探望这种结构时，数学家们却不知所措。他们致使不知说念从那里运转。

这时Atkin和Swinnerton-Dyer登场了。

整洁的圭臬

这两位数学家念念知说念更多对于非同余模体式，以及他们可能荫藏的任何巧妙。

“这老是数学跳跃的花式，”宾夕法尼亚州立大学的数学家李文卿（Winnie Li）说。“你盘考具有很是特殊属性和更多结构的东西。然后你去概述它，试图了解哪些属性会延续，哪些不会。

为了盘考给定的模体式，数学家每每将其表示为称为q伸开式（q-expansion，一种特殊类型的幂级数）的无穷和，然后分析该伸开的统统。大家皆知，若是给定的模体式是同余的，那么统统的分母长期不会大于某个固定值。

在1960年代，Atkin和Swinnerton-Dyer贪图了q伸开式的分数和模体式的分数。当他们这样作念时，他们良好到，若是模体式是不同余的，那么其关统统列中的分母就会无达成地增长。“他们内容上不错对这些深邃的非同余体式说些什么，”加州大学伯克利分校的数学家唐云清（首位获拉马努金奖的华东说念主女数学家，2022年）说。

2021年元旦，高档盘考院的数学家 Vesselin Dimitrov 给两位共事发了一封电子邮件，讲演了“一个一相情愿的念念法”：他念念运用他们一直在盘考的时间来经管一个实足不关系的问题，即无界分母猜念念。

诀别这两种类型的模体式真的这样容易吗？

数学家们在1968年加利福尼亚的一次会议上提到了他们的不雅察成果，标明无界分母可能短长同余模体式的宽广记号。这个猜念念“很是惊东说念主”，达特茅斯学院的数学家约翰·沃伊特（John Voight）说。“它给了咱们一个整洁的圭臬来决定一个模体式是否属于同余群”——对于数论者来说，这是一个很是简易的试金石，在其他情况下可能很难检测到。

“这真实好得令东说念主难以置信，”他补充说。“东说念主们真的不指望出现这样的遗迹。”

事实上，莫得东说念主能解说无界分母的猜念念。李文卿和其他少数东说念主大略解说对于非同余模体式的特定族是正确的，但数学家不知说念奈何处理一般情况。

然后在 2021年9月，唐与芝加哥大学的Frank Calegari和高档盘考所的Vesselin Dimitrov一说念发布了一份50页的解说。“这太神奇了，真的很出乎料念念，”Frank说。“嗅觉（数学）社区对奈何处理这个问题莫得任何念念法。”

作家但愿他们的论文是将沙漠中的路标发展成纯熟说念路采集的第一步。“咱们通过为最毛糙的问题提供谜底，为数论的这一部分作念出了绵薄的孝顺，”Dimitrov说。

回到老路

Calegari、Dimitrov和唐并莫得入部下手经管无界分母猜念念。在2019年底，他们但愿解说某个数字（黎曼zeta函数的肖似值）是颠倒的——就像2的平时根相通，它不可写身分数。（他们的最终主见是解说这个数字和其他肖似的数字是超越的，这意味着，与数字π和e相通，它们不可写为具有整数统统的多项式方程的解。）

从名义上看，这个问题是实足无关的。但在2021年元旦，Dimitrov在新的一年里给其他东说念主发了一封电子邮件，他在电子邮件中态状了 “一相情愿的念念法”：也许他们在昔时一年中树立的时间不错再行用于解说无界分母猜念念。

他们试了一下。在七个月内，他们得到了解说。

图片

在解说了无界分母猜念念之后，加州大学伯克利分校的数学家唐云清（Yunqing Tang）陆续与她的两位合著者配合，盘考当先激勉解说的问题。“咱们正在奋发完成咱们运转的事情，”她说。

着手，他们琢磨了两个空间：整个具有有界分母的模体式的空间，以及整个同余模体式的空间。根据无界分母猜念念，这两个空间应该是疏导的。由于空间餍足某些属性，数学家只需要解说它们的大小疏导。这样作念将自动表示它们的等价性。

Calegari、Dimitrov 和唐不错相对容易地贪图第二个空间的大小，从而得回一种同余模体式的愚顽计数。然则很难题到第一个空间的大小料到。他们必须相接好多不同的时间——包括来自超越数论的时间。

使用这些要领，他们标明具有有界分母的模体式的空间最多不错达到一定的大小。该最大大小比同余模体式的空间大小略大。尽管如斯，这一步“如实是解说的中枢，”巴黎萨克雷大学（Paris-Saclay University）的数学家让-贝努瓦·Bost（Jean-Benoît Bost）说。“你需要很大的泄漏才智作念到这少量。（Calegari、Dimitrov和唐以几种不同的花式解说了这种空间大小的界，可能给他们的时间带来更粗野的运用。）

“这短长常古典、妍丽的数学，带有19世纪的滋味，”法国巴黎综合理工学院（École Polytechnique）的数学家哈维尔·弗雷桑（Javier Fresán）说。

然后，三东说念主需要迟滞两个空间之间的差距。这样作念将细目任何具有有界分母的模体式必须是同余的。

图片

因此，他们假定了相背的情况：存在具有有界分母的非同余模体式。根据界说，它将生涯在Calegari、Dimitrov和唐试图迟滞的毛病中。然后，这三东说念主标明，这种非同余模体式的存在自动表示了好多其他具有有界分母的非同余模体式的存在。仿佛整片丛林齐是从那颗种子长出来的。

但他们依然细目了毛病的最大大小 - 它太小了，无法容纳那么多非同余体式。

这意味着即使是一种这样的体式也不可能存在。他们解说了Atkin和Swinnerton-Dyer几十年前的猜念念。

数学家发现使命中使用的时间比成果本人更真义。“这些念念法以前从未用于盘考模体式的算术，”Scholl说。

正如Voight所解释的那样，尽管模体式的盘考当先是复分析限制的一部分，但咫尺的使命一直是数论和代数几何的边界。他说，这篇新论文记号着对复分析的总结：“这是一个令东说念主盖头换面的陈腐不雅点。

寻找新表面

数学家并不是唯独对无界分母猜念念感到愉快的东说念主。它也出咫尺表面物理学中。

在1970年代，另一个故事与Atkin和Swinnerton-Dyer运转的故事同期伸开。数学家们良好到一个叫作念魔群（Monster Group）的对象和一个叫作念j函数的模体式之间有一种奇怪的商酌。j函数的统统精准地反应了魔群的某些性质。

自后的盘考标明，这种商酌是由于群和模体式齐与称为二维共形场论的遑急粒子相互作用模子相关。

然则，将魔群与j函数商酌起来的共形场论仅仅无数共形场论的一个例子。固然这些表面莫得态状咱们生涯的天地，但理会它们不错对更试验的量子场论的行径产生新的见地。

因此，物理学家陆续通过不雅察它们关系的模体式来盘考共形场论。（在这种情况下，物理学家使用更一般的模体式主见，称为向量值模体式。

为明晰解特定共形场论的情况，你必须解说它的模体式是同余的，爱尔兰戈尔韦大学的数学家和表面物理学家Michael Tuite说。然后，你不错运转态状共形场论，致使不错发现你不知说念要寻找的新场论。这对于对整个共形场论进行分类的抓续奋发尤其遑急 - 物理学家称之为模提示的神志。

“一朝你知说念它是一个同余模体式，它使你大略在这个神志中取得庞杂的跳跃，”Mason说。

物理学家树立了一个框架，允许他们为正在盘考的模体式假定这种同余性质。但这并不等同于领有严格的数学解说——固然其他数学家自后大略提供这样的解说，但他们的论点只在某些环境中有用。根据Mason的说法，它还触及通往同余的“一条很曲直折、狼籍有致的说念路”，尽管他也指出，这条狼籍有致的说念路产生了遑急的见地。

Calegari、Dimitrov和唐对无界分母猜念念的解说冲破了这一切。这是因为，事实解说，与共形场论关系的模体式老是具有整数统统。根据界说，整数的分母为 1，这意味着它们的分母持久是有界的。由于无界分母猜念念指出有界分母仅与同余模体式关系，因此不再需要作念出假定。“你致使不需要了解[共形场论]，”唐说。新的解说会自动为整个这些情况提供同余性 —— 以免费的花式。

图片

芝加哥大学的数学家弗兰克·卡莱加里（Frank Calegari）盘考模体式和关统统学对象。

“这是几十年来一直存在的东西，”Bost说。咫尺终于经管了。

“这真的是一个遗迹，”Mason说。“这仅仅遗迹般地从这些数列是整数的事实中得出的。”

他依然运转将成果运用到我方的使命中。“从那篇论文出现的那天起，我就一直在使用它，”他说。“它为我念念要经管的成果提供了一个很是受接待的捷径。它削减了多数我无法看到的潜在使命。”

它还将模提示神志和其他成果置于更坚忍的数学基础上。“这将使数学家大略再行解说[以前的]成果，或者敬佩它们，”Mason说。

“我以为这真的会产生影响，终点是在数学方面，仅仅真的，真的把事情商酌起来，真确地了解正在发生的事情，”Tuite说。

数学超越性

在他们发布证光线的一年里，Calegari、Dimitrov和唐陆续他们的配合。他们咫尺又回到了超越数论中当先激勉他们对猜念念意思的问题类型。“咱们正在奋发完成咱们运转的事情，”唐说。事实上，他们依然用他们的时间来解说几个感意思的数字是颠倒数。

“他们真的把[要领]推向了极限，”Fresán 说。“我对此感到很是愉快。”

这些要领也可能适用于数论中的其他问题。

撇开时间不谈，无界分母猜念念的经管记号着更好地理会非同余模体式的第一个遑急里程碑之一。“这是一个了不得的建立，咱们不错通过这种花式在不同余体式上取得一些进展，”Franc说。“我对翌日10年，20年感到愉快，望望会发生什么。”